このページは学術的な内容になっていますが、一般の方にも分かるように統計学的事項については注釈を茶色の字で付けています。統計の専門用語も出てきますが、これは専門家向けですので、読み飛ばしていただいても意味は通じると思います。考察のデータ構造については多変量解析に馴染んだ人以外は興味を示さないと思いましたので注釈も省略しました。

目的

このページでは私が「巨大カルデラと滝」のページで提示した仮説が統計学的に妥当であるかを検討することを目的とした。検証されるべき仮説は以下のものである。

１．川の上流部に小さくて、滝面に不規則節理や板状節理が見られる滝が、下流部になるに従って大きくて、滝面に柱状節理を持つ滝がある

２．阿蘇外輪山には「阿蘇の滝」とも言うべき特徴的な一群の滝があり、溶結凝灰岩の柱状節理、半円形の滝面と一体になった滝崖、円形の滝壺、直瀑などの特徴をもっている。

なお、ここで阿蘇外輪山の滝というのは阿蘇の巨大火砕流堆積物が分布する地域に存在する滝のことである。

対象と方法

私が２０００年末までに訪れた阿蘇外輪山にある４１滝を対象とした。なお、阿蘇カルデラ内にある滝は対象から外している。各滝について、落差、幅、懸谷か否か、連滝か否か、滝面の節理の状態、周辺の節理の状態、滝壺の形状、滝の水の落方、源流から滝までの距離などを調べた。
　具体的に対象とした滝、調査方法、測定項目のねらいなどは別ページに一覧表として掲げた。なお、いくつかの滝については全てのデータがそろわなかったので以下の検討で総数が異なることがある。

阿蘇外輪山の滝の特徴

結果

１．仮説：「川の上流部に小さくて、滝面に不規則節理や板状節理が見られる滝が、下流部になるに従って大きくて、滝面に柱状節理を持つ滝がある」の検証

この検討するために、まず滝の落差と滝面の節理の状態の関係を調べた。滝の落差を５段階に分類し、滝面の節理の程度を５段階に評価した（阿蘇外輪山の滝の特徴参照）。
　両者のスペアマンの相関係数（ｒｓ）をとると

ｒｓ＝０．５５７　（Ｐ＜０．００１）　　　　ｎ=４０

すなわち、落差が高い滝ほど柱状節理が見られることが多いことが示唆された。これは火砕流堆積物が厚いところほど、溶結が進み、滝ができた場合には落差が高く、柱状節理が表れやすいという考えを支持する。

次に、滝の落差と源流までの距離の関係を見るために、両者のスペアマンの相関係数を見た。

ｒｓ＝０．５１６　（Ｐ＜０．００１）　　　　ｎ＝４０

すなわち、源流から遠くにある滝ほど落差があるということが示された。このことは滝の上流には小さな滝が、下流ほど大きな滝があるという考えを支持する。

念のため、滝面の節理の状態と源流までの距離とのスペアマンの相関係数を見ると

ｒｓ＝０．４５１　（Ｐ＜０．００５）　　　　ｎ＝４０

源流から遠くにある滝ほど柱状節理がみられやすいということを示している。

スペアマンの相関係数の説明
一つのサンプルにある二つの性質（この場合滝の落差と滝面の節理の程度）の関係を調べる指標。１．０〜０〜−１．０の間の値を取る。スペアマンの相関係数が１ということは両者に直線的な関係があるということ（この場合は滝の落差が高いと必ず柱状節理がある）を示し、０ということは関係がないこと、−１ということは逆の直線的な関係を示すということを示す（この場合は滝の落差があると絶対柱状節理がない）。この関係を相関関係という。
　通常の相関係数ではサンプルの性質が間隔の意味を含む数字で表される必要があるが、スペアマンの相関係数は単なる順位で表されれば使える。つまり、滝面の節理は節理なしを０点、不規則節理を１点、板状節理を２点、不明瞭な柱状節理を３点、明瞭な柱状節理を４点としているが、これは４点は２点の２倍溶結が強いという意味ではなく、この順に溶結が強いということを示している。
　相関の強さは相関係数の大きさで表されるが、サンプルの数が大きくなると同程度の相関があったとしても相関係数は小さくなるので、単純に相関係数の大きさだけではものはいえない。サンプルの数に応じて相関係数の有意差検定を行う必要がある。この場合Ｐ＜０．００１と記されているのがそれである。もし、両者（この場合滝の落差段階と滝面節理）に全く関係がないと仮定したときに今回の観察結果が偶然得られる確率（Ｐ）は０．００１（＝０．１％）以下ということである。両者に関係はないのに偶然こういう結果が得られたと考えるよりも、両者に関係があると考える方が自然である。一般にＰが０．０５（＝５％）以下の時に統計学的な有意差があるといい、偶然による結果ではない（＝何らかの関係や違いがある）と考える。NSと書いたのはnot significantの略で、統計学的に有意差がない＝統計学的に区別できないということを示す。

２．仮説：「阿蘇外輪山には「阿蘇の滝」とも言うべき特徴的な一群の滝があり、溶結凝灰岩の柱状節理、半円形の滝面と一体になった滝崖、円形の滝壺、直瀑などの特徴をもっている。」の検証

まず、データが完全にそろっている３９滝を対象に、落差段階、滝面節理、周辺節理、滝壺、水の落ち方、源流からの距離の６変数を説明変数としてワード法によるクラスター分析を行った（それぞれの項目の詳細は阿蘇外輪山の滝の特徴を参照）。

クラスター分析の結果をデンドログラムにして示す（右図）。これは統計的に似た特徴を持った滝を隣り合わせに示してグループ化したものである。それぞれの滝が線で結んであるが、それがより近くで結ばれるほど近似しているということである（横軸は統計学的距離を示す、この場合は標準ユークリッド距離を用いている）。

例えば、真名井の滝と一番近似しているのは沈堕の滝雌滝、その次が沈堕の滝雄滝、その次が八戸観音滝というふうになり、次々に近似した滝を結びつけた結果、最適なグループ分けが可能になる。

なお、図では太い線と細い線が見られるが、これは画像処理の時にできた線で意味はない（暇なときに修正します）。

最終的に全体を２群に分けるとすると、図に示したA群とＢ群に分けられる。A群は１４滝から構成され、「巨大カルデラと滝」のページ、項目７で私が主観で選んだ典型的な「阿蘇の滝」、下城滝、竿渡滝、うのこ滝、原尻の滝、五老ヶ滝、聖滝、七滝（御船）の全てが含まれている。すなわちA群は「阿蘇の滝」、Ｂ群は２５滝でその他の滝を示すだろうと推察される。

そこで、両群の特徴をもう少し数字で見てみよう。表１にA群の滝とＢ群の滝の比較を示す。緑色の６変数は分類に用いた６変数、青紫の２変数は参考にその他の特徴を示す。数字は各群に属する滝の各変数の得点の平均±標準偏差を示す。
　統計的有意差（Ｐ）はMann-WhitneyのU検定で行った。

その結果、A群の滝はＢ群の滝に比較して落差が高く、滝面や滝の周辺に柱状節理が見られやすく、丸い滝壺を持つ傾向が強く、より下流に位置するということが示された。なお、懸谷にかかる滝である傾向や連滝である傾向には有意な差は見られなかった。

以上のことは仮説：「阿蘇外輪山には「阿蘇の滝」とも言うべき特徴的な一群の滝があり、溶結凝灰岩の柱状節理、半円形の滝面と一体になった滝崖、円形の滝壺、直瀑などの特徴をもっている。」が統計学的にも適当な指摘であることを示している。

考察

阿蘇の滝について
クラスター分析の表をみると、主観的に似ていると思われる滝がごく近くに分類され、距離的に近い滝もほぼ同じグループに分類されている。ほぼ妥当な分類ができたと考える。このホームページで言う「阿蘇の滝」に一致するグループとして、A群、１４滝が分離された。これらのうち、八戸観音滝、真名井の滝、沈堕の滝雌滝は懸谷にかかる滝であるので残りの１１滝が典型的な「阿蘇の滝」と考えることができる。
　一方、小国地方にある二俣滝も「阿蘇の滝」に相当するのではと考えているが、この滝は近づく道を見出せず、滝崖の確認をできないでいる。
　Ｂ群は「阿蘇の滝」の特徴に欠ける滝ということになる。Ｂ群はさらに土田滝から四十三万の滝までのグループと白糸滝から夫婦滝男滝のグループに二分される。前者は土田滝を除いては菊池渓谷などの渓谷に連続する小滝である。このグループはいずれも渓流瀑でさらに滝の周囲に比較的柱状節理が発達するという特徴がある。白糸滝から夫婦滝男滝については直瀑でありながら滝面および滝周囲に柱状節理の発達が甘いという特徴を持つ。

データ構造について
クラスター分析を行う前に予備的に主成分分析を行い、本データベースのデータ構造を見た。第一主成分は寄与率４８．０％で、滝面節理、落差段階、滝壺と０．４〜０．５の固有ベクトルを持っており、その他の変数とも０．３程度の固有ベクトルを持っていた。これはどの一つの変数の結果を強く表すわけでなく、全体的な「阿蘇の滝」らしさを表すと考えられた。
　第二主成分は寄与率１８．８％で、その固有ベクトルは周辺の節理と−０．６９、水の落ち方と０．６７であった。すなわちこの成分が高いと言うことは滝周辺の溶結が未発達ながら直漠と言うことで「阿蘇の滝」とは異なった成因を示唆する。この成分が高い滝は城村滝、カッパ滝、夫婦滝女滝、夫婦滝男滝、木郷滝、金原滝、白糸の滝、白糸滝（クラスター分析の表で城村滝から夫婦滝男滝にほぼ相当）である。カッパ滝や木郷滝は主観的にも明らかに「阿蘇の滝」と違った外観をしている。金原滝は巨石の上から落ちる滝、白糸滝は深い峡谷にかかる懸谷の滝である。しかし、それ以外の滝は主観的には特徴的な外観を示すわけではない。阿蘇外輪山の滝の特徴にも書いたように、周辺の節理という変数を客観的に統一的に取り扱うことが難しい。調査不十分のため、間違って分類された危険性を考えていないといけない。
　第三主成分は寄与率１３．５％で源流からの距離と密接な関係を持っている。ここまでで累積寄与率８０％となるので以下は省略する。

矢部の滝について
矢部地方には俗に矢部四十八滝として、五十以上の滝があるのが知られている。その内今回解析対象にしたのは１１滝のみで、その内１０滝は大型の滝、代表的な滝であるので、サンプリングに問題があるという指摘はまのがれない。残りの多くの滝を矢部町老人大学著「写真集、ふるさと再発見、矢部の滝と石橋」でみると、小型の滝ながら柱状節理を有する滝が少なからずあるようだ。
　これらの滝を解析対象に加えれば、今回の結果と違った結果を生じる可能性を否定し得ない。しかし、この地方は外輪山の中でも浸食が進んだ地域とされる。一般に滝は浸食が進むに連れて滝の上、下流に付随する滝ができたり、滝が分裂したりすることがある。従って形状的には滝が連続するかたちになっていく。矢部地方も滝が連続しており、また懸谷にかかる滝も多い。この点を十分に考慮しながら解析すれば、今回の検討を根底から覆す結果にはならないと考える。

結論

阿蘇外輪山の滝について統計学的に検討した結果、川の上流部に小さくて、滝面に不規則節理や板状節理が見られる滝が、下流部になるに従って大きくて、滝面に柱状節理を持つ滝が見られた。また、「阿蘇の滝」とも言うべき特徴的な一群の滝があり、溶結凝灰岩の柱状節理、半円形の滝面と一体になった滝崖、円形の滝壺、直瀑などの特徴をもっていた。